Somme des n premiers entiers

Propriété
Pour tout entier naturel  `n` non nul,  \(\boxed{1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}}\) . 

Exemples 

• Pour  `n=100` , on a :
    `1+2+3+...+100=\frac{100(100+1)}{2}=(10\ 100)/2=5\ 050` . 
  
• Pour     `n=2024` , on a :  `1+2+3+...+2\ 024=\frac{2\ 024(2\024+1)}{2}=(4\ 098\ 600)/2=2\ 049\ 300` . 
  

Démonstration

L'astuce de cette démonstration réside dans le fait de calculer  `2S`  et de regrouper les termes astucieusement. 

Soit  `n` entier naturel non nul, on note :  `S=1+2+3+...+n` . 
D'une part,  `S=\color{green}{1}+\color{red}{2}+\color{purple}{3}+...+\color{blue}{(n-1)}+\color{orange}{n}`
et d'autre part,  `S=\color{green}{n}+\color{red}{(n-1)}+\color{purple}{(n-2)}+...+\color{blue}{2}+\color{orange}{1}` . 

Donc,  `2S=\color{green}{(n+1)}+\color{red}{((n-1)+2)}+\color{purple}{((n-2)+3)}+...+\color{blue}{(2+(n-1))}+\color{orange}{(1+n)}` . 
C'est-à-dire, 

`2S=\underbrace{\color{green}{(n+1)}+\color{red}{(n+1)}+\color{purple}{(n+1)}+...+\color{blue}{(n+1)}+\color{orange}{(1+n)}}_{n fois}`

Alors,  `2S=n(n+1)` . Enfin,  `S=\frac{n(n+1)}{2}` .

Illustration

Cette démonstration peut se visualiser. Par exemple, pour  `n=6` , on calcule  `2S`  en organisant les termes de façon à former  `` `6`  lignes constituées chacune de  `7(=6+1)`  points. 
On obtient alors :  `2\times (1+2+3+4+5+6)=6\times7` , c'est-à-dire : `1+2+3+4+5+6=\frac{42}{2}=21` .